Tag Archives: física

Introducció teòrica a la dinàmica de rotació

1 Jun

L’equació fonamental de la dinàmica de rotació d’un sòlid rígid és la que segueix:

\frac{d\vec{L}}{dt}=\tau_{ext}

on \vec{L}, és el denominat moment angular del sòlid, i \tau_{ext} és l’anomenat moment de les forces externes que actuen sobre aquest sòlid.

El moment angular d’un sòlid rígid es calcula a partir de l’expressió:

\vec{L}=\sum_{i=1}^{N}{\vec{r}_i\times{\vec{p}_i}}=\sum_{i=1}^{N}{{m_i}\vec{{r}}_i\times{\vec{v}_i}}

on el sumatori s’estén a totes, i sense excepció, partícules que formen part del sòlid rígid. Aquest moment es pot escriure de manera elegant en una matriu quadrada de 3×3 associada a la particular distribució geomètrica de la massa del cos que està sotmesa a la rotació aplicat sobre el vector velocitat angular. Aquesta matriu s’anomena tensor d’inèrcia.

\vec{L}=\tilde{I}\vec{\omega}

El nomenat anteriorment, tensor d’inèrcia, inclou els moments d’inèrcia respecte dels eixos de coordenades principals, és a dir: eix x, eix y i j z en la seva diagonal principal i els productes d’inèrcia respecte ales plànols xy, yz i zx fora de la diagonal principal.

La derivada temporal del moment angular és:

\dot{\vec{L}}=\frac{\vec{L}}{dt}=\frac{d\left(I\vec\omega\right)}{dt}=I\frac{d\vec\omega}{dt}=I\vec\alpha

on L és l’acceleració angular i I és constant ja que, donat un sòlid rígid, la seva geometria no canvia. Dit en altres paraules la geometria d’un cos és una característica intrínseca de l’esmentat cos. Igualant les equacions (1) i (4), obtenim:

I\vec\alpha=\vec\tau_{ext}

Es pot demostrar que per a cada sòlid rígid independentment de la forma geomètrica d’aquest sòlid rígid existeixen tres direccions perpendiculars entre si en les quals, si el sòlid rígid està rotant al voltant d’una de les direccions, el sue moment angular és paral·lel a l’eix de rotació . Aquests eixos tenen el curiós nom d’eixos principals d’inèrcia, i els moments d’inèrcia calculats respecte d’ells es denominen moments principals d’inèrcia (sembla obvi, no?). En aquesta situació, els productes d’inèrcia són iguals a zero, i si calculéssim el tensor d’inèrcia respecte dels eixos principals obtindríem una matriu diagonal (què bonica és l’àlgebra !!). Quan el cos té un eix de simetria, aquest eix és un dels eixos principals. Tots els eixos principals passen necessàriament pel centre de masses (CM) del sòlid rígid.


El moment de les forces externes ve donat per la següent equació:

\vec\tau_{ext}=\vec{r}\times\vec{F}

on $latex \vec{F}$ i $latex \vec{r}$ són la força aplicada i el braç d’aplicació, respectivament. Si aquestes dues magnituds són perpendiculars es pot calcular el mòdul de les forces externes com un simple producte, és a dir:

\left|\vec\tau_{ext}\right|=\left|\vec{r}\right|\cdot\left|\vec{F}\right|

si tenim en compte l’equació (5), obtindrem:

\left|\tilde{I}\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}

o , d’una altra manera:

\left|\frac{d\vec{L}}{dt}\right|=\left|\tilde{I}\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}

Quan un sòlid rígid està en rotació al voltant d’un dels seus eixos principals es pot substituir el tensor d’inèrcia $latex \tilde{I}$ pel moment d’inèrcia I del sòlid respecte d’aquest eix principal. Així, en aquest particular cas, tenim:

\left|\frac{d\vec{L}}{dt}\right|=I\left|\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}

Aquesta última expressió ens permet trobar experimentalment el valor del moment d’inèrcia d’un sòlid rígid a partir de la força aplicada i del braç d’aplicació, si coneixem la seva acceleració angular.

Si sobre el sistema de rotació no hi ha cap moment de forces externes, llavors el moment angular serà constant. això vol dir que qualsevol modificació en el sistema que no ens porti a l’existència d’un moment extern, es farà de tal manera que el moment angular del sistema es conservi. És a dir, que si tenim un moment d’inèrcia $latex I$ abans de la possible modificació i tenim un moment d’inèrcia $latex I’$ després de la modificació, llavors:

L^{abans}=I\omega=L^{despres}=I'\omega'

o reescrita d’aquesta altra manera:

\frac{I'}{I}=\frac{\omega}{\omega'}

Cal recordar que les unitats en el Sistema Internacional (SI) del moment angular, el moment de les forces i el moment d’inèrcia són kg·m^2/s, N·m i el kg·m^2, respectivament.

Problemes física/fisicoquímica.

22 Sep

Dossier de  Problemes física/fisicoquímica dels graus de Ciències i tecnologies dels aliments i Nutrició humana i dietètica de la UB.

La capil·laritat i els vegetals.

18 Jul

No us heu demanat mai com és capaç de circular la saba de les plantes sense un motor (com en el nostre cas el cor?).

Resulta molt sorprenent sobretot si pensem en arbres gegants com les sequoies (Sequoia sempervirens) que poden arribar als 100 metres d’alçada.

 

Com arriba la sava a pujar 100 metres?

Com arriba la sava a pujar 100 metres?

 

La saba és un líquid que flueix per l’interior del xilema de les plantes. Entre les molècules del líquid i el xilema de la planta es creen unes forces que han de compensar-se. El líquid puja pel tub fins que la força ascendent que actua sobre el líquid deguda a la tensió superficial, quedi equilibrada pel pes del líquid.

 

Font: Google

Font: Google

 

Els problemes de capil·laritat es resolen amb la Llei de Jurin, que fou establerta per James Jurin (1684-1750). Gràcies a en aquesta fòrmula podem calcular en un tub capil·lar, l’ascens o descens h d’un líquid en funció de la tensió superficial \gamma, de la densitat ρ del líquid i del radi r del tub capil·lar:

h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho gR}

on la g és la gravetat terrestre i R és el radi, per la gran majoria de problemes en els quals l’aigua és element principal el terme $\cos\theta$ l’aproximarem a ú.

Problema resolt amb l’aplicació de la Llei de Jurin.

Examen resolt de física.

20 Jun

A continuació teniu resolt l’examen de l’assignatura Electromagnetisme i Òptica del grau de ciències químiques de la UNED.

A la nostra secció de problemes de física, trobareu molt material per a preparar els exàmens de física de qualsevol grau.

I si el que necessiteu és repassar conceptes teòrics, podeu anar a la secció de teoria de física.

El moviment ondulatori

12 Abr

Podem considerar el moviment ondulatori com el transport d’energia i de quantitat de moviment d’un punt a l’altre de l’espai sense transport de matèria. En les ones mecàniques, com les ones en una corda o les ones sonores en l’aire, l’energia i la quantitat de moviment són transportades mitjançant una pertorbació del medi. Si pessiguem o toquem amb l’arc una corda de violí, la pertorbació de la seva forma es propaga al llarg de la corda. Al mateix temps la corda vibrant produeix una lleugera variació de la pressió de l’aire de l’entorn, i aquesta variació de la pressió es propaga com a ona sonora en l’aire. En tots dos cassos la pertorbació es propaga degut a les propietats elàstiques del medi.

transversales

Per altra banda, en les ones electromagnètiques (com ara la llum, les ones de ràdio o televisió o els raigs X) l’energia i la quantitat de moviment són transportats pels camps elèctrics i magnètics que es poden transportar en el buit.

(font, Tipler)

Us deixem uns apunts teòrics d’enguany de la facultat d’enginyeria de la URV, xaleu-los!

Moviment ondulatori URV 13-14

Problema sobre tir parabòl·lic

5 Ago

A continuació teniu un resolt típic i interessant problema de tir parabòl·lic, en el qual ens demana que calculem l’angle que tenen les components de la velocitat a l’altura màxima quan la seva velociat és de 0.75 la velocitat inicial. Esperem que el gaudiu. Salut, i bona feina.

Forces centrals

20 May

Una força central té una simetria molt especial, només depèn del radi i té direcció radial:

\vec{F}\left(x,y,z\right)=F\left(r\right)\cdot\vec{e}_r\ \textnormal{ on }\ \vec{e}_r=\frac{\vec{r}}{r}

Si una força té direcció radial però no depèn del radi, llavors no és una força central:

\vec{F}\left(x,y,z\right)=F\left(x,y,z\right)\cdot\vec{e}_r\ \textnormal{ no es central }

Aquestes forces tenen unes propietats concretes que reflecteixen aquesta simetria. Normalment una simetria coincideix amb una quantitat que es conserva en aquest cas:

  • una força central és conservativa, és a dir:

E=T+V=cte

  • el seu moment angular es conserva:

\vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}=cte

Això ho veiem fent la derivada de \vec{L}.

\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\vec{r}\wedge\vec{p}\right)=\frac{d\vec{r}}{dt}\wedge\vec{p}+\vec{r}\wedge\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{v}\wedge\vec{p}+\vec{r}\wedge\vec{F}

però els vectors \vec{v} i \vec{p} són paral·lels ja que \vec{p}=m\vec{v} i els vectors \vec{r} i \vec{F} també ja que \vec{F}=\vec{F}\left(\vec{r}\right), degut a que \vec{F} és radial. Per tant els dos sumands s’anul·len i \vec{L} és constant en el temps. Una de les conseqüències d’aquesta simetria és que el moviment es produeix en un sol pla, el que defineixen \vec{r}_0 i \vec{v}_0.

\vec{L} és perpendicular a \vec{r} i a \vec{v}. El fet de que sigui constant afecta al seu mòdul i a la seva direcció. Com que \vec{L} no canvia de direcció el moviment es produeix en el pla perpendicular a \vec{L}, per tant el pla que inclou \vec{r} i \vec{v} inicials.

Vibracions i ones electromagnètiques

5 May

El període T de les vibracions electromagnètiques d’un circuit oscil·lant format per la capacitat C, la inductància L i la resitència R ve determinda per a fórmula:

 

T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2}}

 

si la resistència del circuit és tan petita que:

 

(\frac{R}{2L}^2)<<\frac{1}{LC}

 

el període de les vibracions és:

 

T=2\pi\sqrt{LC}

 

Si la resitència R del circuit oscil·lant no és igual a zero, les vibracions seran esmorteïdes. En aquest cas la diferència de potencial entre les plaques del condensador variarà amb el temps d’acord amb la llei:

 

U=U_0e^{-\delta t}\cos\omega t

 

si el temps es comença a comptar des del moment en el que la diferència de potencial entre les plaques del condensador és màxim. En aquesta fórmula \delta=\frac{R}{2L} és el coeficient d’esmorteïment. La magnitud \chi=\delta T s’anomena decreixement logarítmic de l’esmorteïment.

 

Si \delta=0 la vibració no serà esmorteïda, és a dir, serà entretenguda i es podrà escriure que:

 

U=U_0\cos\omega t

 

Si el temps es comença a comptar des del moment en el que la diferència de potencial entre les plaques del condensador és zero, es complirà la següent correlació:

 

U=U_0\sin\omega t

 

La llei d’Ohm per a la corrent alterna s’escriu de la següent forma

 

I_{ef}=\frac{U_{ef}}{Z}

 

on I_{ef} i U_{ef} són els valors eficaços de la intensitat de la corrent i de la tensió, on la relació amb els seus valors màxims I_o i U_0 ve expressada per les correlacions:

 

I_{ef}=\frac{I_0}{\sqrt{2}} i U_{ef}=\frac{U_0}{\sqrt{2}}

 

i Z és la impedància del circuit. Si el circuit consta d’una resistència eficaç R, una capacitat C i una inductància L unides en sèrie, tindrem que:

 

Z=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}

 

En aaquest cas el desfasament entre la tensió i la intensitat de la corrent ve determinat per la fórmula:

 

\tan\varphi=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}

 

Una bobina on la resistència eficaç sigui R i on la seva inductància sigui L intercal·lada en un circuit de corrent altern equival a connectar en sèrie R i L. Un condensdor que tingui la capacitat C i la resistència eficaç R equival a connectar en paral·lel R i C.

 

La potència d’una corrent alterna:

 

P=I_{ef}U_{ef}\cos\varphi

Mecànica dels gasos i dels líquids

17 Abr

Els líquids ideals incompressibles que es mouen amb règim estacionari compleixen l’equació de Bernoulli

 

p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh=const

 

On \rho és la densitat del líquid; v, és la seva velocitat en una secció determinada del tub; h, és l’altura a que es troba dita secció amb relació a un nivell donat i p, és la pressió.

 

De l’equació de Bernoulli es dedueix que la velocitat amb la qual surt un líquid per un orifici petit és v=\sqrt{2gh}, on h és l’altura de qualsevol secció transversal d’un tub passa el mateix volum de líquid, S_1v_1=S_2v_2, on v_1 i v_2 són les velocitats del líquid en dues seccions transversals del tub en les que les seves respectives àrees són S_1 i S_2.

 

La força de la resistència que un líquid viscós (o un gas) oposa a la caiguda d’una bola ve expressada per la fórmula d’Stokes

 

F=6\pi\rho\eta rv

 

on \eta és el coeficient de fricció intern del líquid o del gas (viscositat dinàmica), r és el radi de la bola, i v és la seva velocitat.  La llei d’Stokes es compleix únicament si el moviment és laminar. Quan el moviment és laminar el volum del líquid (o del gas) que passa en el temps t per un tub capilar de radi r i longitud l ve determinat per la fórmula de Poiseulle

 

V=\frac{\pi r^4 \Delta p}{8l\eta}

 

on \eta és a viscositat dinàmica del líquid (o del gas) i \Delta p la diferència de pressions entre els extrems del tub.

 

El caràcter del moviment del líquid (o del gas) es determina pel número de Reynolds

 

Re=\frac{Dv\rho}{\eta}=\frac{Dv}{\nu}

 

on D és una magnitud que caracteritza les dimensions lineals del cos envolcallat pel líquid (o pel gas), v és la velocitat de la corrent, \rho és la densitat, i \eta la viscositat dinàmica. La relació \nu=\eta/\rho és diu viscositat cinemàtica. El valor críti del número de Reynolds, que determina el pas del moviment laminar al moviment turbulent, és diferent per als cossos que tenen formes diferents.

Un altre problema de sistema de partícules… ara amb el CM

21 Nov

A continuació teniu un problema de sistema de partícules, en el qual heu de calcular el centre de masses d’una esfera amb una cavitat a dins.

 

Esperem que disfruteu del probema, i bona feina amb els CM. Llarga vida al CM i al Teorema d’Steiner. El teorema d’Steiner deu el seu nom a Jakob Steiner. Matemàtic suís aficionat a la geometria, tot i que no era fan de l’analitcitat de la geometria, les coses li van anar bé. es considerat com el més gran geni de la geometria pura d’ença Apol·loni de Perga, un famós geòmetra grec aficionat a les infusions i a les seccions còniques (paràbola, el·lipse, hipèrbola).

eurasiacat

Anàlisi i informació eurasiàtica en català

Campana de Gauss

Classes particulars: Física, química i matemàtiques.

a10pàrsecs

Reflexions reflectides.

Desayuno con fotones

Un blog de física médica para todos los públicos

X razones para Y

Un blog bilingüe sobre métodos y herramientas para analizar datos

Viure la Ciència

Ciència a l'Escola Mare de Déu de La Salut

Assemblea Campus Nord

Assemblea de l'ETSECCPB, ETSETB i FIB

Ciencia Con Futuro

Otra ciencia es posible

Ciencia Viva

El Blog de la Asociación Ciencia Viva

Más que Ciencia

Investigación, desarrollo, innovación y estilos de vida a tu alcance

Solzhe Kalínkovitx

El teu fulfo és el meu fulfo

Kostya's small apps

The big one is AquaMail and it has its own site

Circuito Aleph

Blog con noticias de ciencia y astronomía.

CLAUDI MANS

Blog personal

A %d blogueros les gusta esto: